Program

PTT

M. Bernardara : "Surfaces cubiques I"

Dans cet exposé, j'introduirai la notion de système linéaire sur une variété lisse projective, et je construirai le morphisme associé à un système sans points base. Ensuite, je montrerai comment le système linéaire des cubiques du plan projectif passant par 6 points (en position générale) donne un plongement de l'éclatement du plan en ces points comme surface cubique dans P³.

A. Lonjou : "Théorème de Castelnuovo-Noether I"

Le théorème de Castelnuovo-Noether affirme que toute application birationnelle du plan projectif complexe admet une factorisation par des transformations linéaires et quadratiques. Je donnerai une preuve de ce théorème suivant un article d'Alexander paru en 1915 (notes d'exposé).

S. Lamy : "Théorème de Castelnuovo-Noether II"

Je donnerai une autre preuve du théorème, en suivant l'approche moderne exposée dans le livre de Kollar, Smith et Corti "Rational and Nearly Rational Varieties" (notes d'exposé).

T. Dedieu : "Surfaces cubiques II"

À la suite de l'exposé de M. Bernardara, je montrerai réciproquement que toute surface lisse de degré 3 dans l'espace projectif de dimension 3 peut être réalisée comme un plan éclaté en 6 points. Ensuite, j'introduirai la théorie de l'intersection pour les surfaces, et expliciterai dans ce cadre la formule d'adjonction. Ces outils seront finalement utilisés pour étudier les courbes tracées sur une surface cubique de l'espace projectif.

BirPol

M. Benzerga: "Real structures on blow-ups of P²"

A real structure on a complex projective variety X is an antiregular (or antiholomorphic) involution. The data of such a structure on X is equivalent to the data of a real variety whose complexification is isomorphic to X. The aim of this talk is to show how the study of automorphism groups of blow-ups of P² can be used in order to give partial answer to the question : is there a finite number of real forms on every blow-up of P² up to isomorphism ? Namely, is there a finite number of equivalence classes of real structures on every blow-up of P² ?

J.-P. Furter: "On the Lie algebras of some ind-groups"

We will be interested in the Lie algebras of the ind-groups Aut(C[x,y]), Aut(C<x,y>), Aut (C[x,y,z])... and in some interesting phenomenons occuring related with them. (joint work with H. Kraft)

A. Dubouloz: "Surfaces Cubiques III"

A la suite des deux exposés précédents, on s'intéressera cette fois à la géométrie des complémentaires de surfaces cubiques lisses dans l'espace projectif de dimension 3. On verra dans un premier temps que ces variétés affines ont la propriété d'être recouvertes par des copies de la droite affine sans pour autant contenir d'ouvert de Zariski isomorphe au produit d'une surface par la droite affine, une sorte de version "affine" de la différence entre variétés réglées et uniréglées dans le cadre projectif. On s'intéressera ensuite à l'existence sur ces variétés de certaines fibrations naturelles en surfaces affines cubiques dont les fibres génériques possèdent des propriétés de rigidité analogues à la rigidité birationnelle des surfaces cubique projective de nombre de Picard égal à 1. Enfin, je donnerai un aperçu de diverses tentatives, jusqu'ici infructueuses, menées en collaboration avec T. Kishimoto pour déterminer la structure des groupes d'automorphismes de ces variétés.

C. Petitjean: "Segmental divisors and hyperbolic G_m-actions"

I will review a presentation of smooth affine varieties endowed with an effective hyperbolic action of the multiplicative group G_m by means of pairs (Y,D). It is constituted of a lower dimensional variety Y, playing essentially the role of an algebraic quotient and a divisor D on Y with coefficients of a combinatorial nature. I will explain how such a presentation can be used to treat some rationality problems.

S. Zimmermann: "Compact presentation of the Cremona group"

I will recall that the Cremona group of the complex plane is compactly presented and discuss what happens for the group of birational transformations of the complex plane which are defined over the real numbers.

J. Blanc: "On birational maps from a smooth cubic threefold"

I will try to give some ideas of the possible birational maps that can occur on a smooth cubic threefold and show why, even if the variety is not rational, it seems to share many properties of rational varieties. (Joint work with the organiser.)

A. Regeta: "Small SL_n-varieties"

I will talk about smooth affine SL_n-varieties of "small dimension", where n ≥ 3. It turns out that such varieties have a spacial structure (at least) in case dimension of those varieties is smaller then 2n-2. It also has an interesting applications, if ind-group Aut(Aⁿ) is isomorphic to an ind-group Aut(X) of a smooth affine variety X of dimension less then n+1, then X = Aⁿ (Joint work with H.Kraft and S. Zimmermann)..

F. Mangolte: "Fake real planes: exotic rational algebraic models of R²"

We study real algebraic models of the euclidean affine plane R² up to birational diffeomorphisms. The corresponding study in the compact case, that is the classification of real algebraic models of the real projective plane P²(R) is well known: P²(R) is the only model. We introduce the « fake real planes »: a fake real plane is a smooth geometrically integral surface S defined over R such that:

1. The real locus S(R) is diffeomorphic to R²;
2. S is not isomorphic to A²_R as surfaces defined over R;
3. The complex surface S_C has Q-acyclic homology (to avoid trivial examples for which S is « very far » from A²).